Bài tập ôn tập học kỳ I môn Toán Lớp 8 - Năm học 2009-2010

ÔN TẬP HỌC KỲ I TOÁN 8 (2009-2010)
õ ĐẠI SỐ
Bài 1 : Rút gọn biểu thức
1/ ( x + 2 ) ( x – 2 ) – ( x – 3 ) ( x + 1 )
2/ (x-1)(x3+x2+x+1)
3/ (2x+1)2+2(4x2-1)+(2x-1)2
4/ (x2+xy+y2)(x-y) + (x2-xy+y2)(x+y)
5/ ( 3x – 1)2 + 2(3x – 1)(2x + 1) + (2x + 1)2
6/ (x – 3)(x + 3) – (x – 3)2
7/ ( x – 1 ) ( x + 1 ) – ( x – 1 )2
8/ ( 2x + 1 )2 + ( 3x – 1 )2 + 2( ( 2x + 1 ) ( 3x – 1 )
9/ (x2–1)(x+2) – (x–2)(x2+2x+4)
10/(x2+1)(x–3) – (x–3)(x2+3x+9)
Giải
1/ ( x + 2 ) ( x – 2 ) – ( x – 3 ) ( x + 1 )
= x2 – 22 – (x2+x–3x–3)
= x2 – 4 – x2 –x +3x +3
= 2x –1
2/ (x-1)(x3+x2+x+1)
= x4+x3+x2+x– x3–x2–x–1
= x4–1
3/ (2x+1)2+2 (4x2-1)+(2x-1)2
= (2x+1)2+2 (2x-1)(2x+1) +(2x-1)2
= [(2x+1) + (2x –1)]2
= (2x+1+2x –1)2
= (4x)2 = 16x2 
4/ (x2+xy+y2)(x-y) + (x2-xy+y2)(x+y)
= x3 –y3 + x3+y3 
= 2x3
5/ ( 3x – 1)2 + 2(3x – 1)(2x + 1) + (2x + 1)2
= [(3x – 1) + (2x + 1) ]2
= (3x – 1 +2x +1)2
= (5x)2 = 25x2 
6/ (x – 3)(x + 3) – (x – 3)2
= (x–3)[(x+3)–(x–3)]
= (x–3)[x+3 –x+3]
= 6(x–3) 
7/( x – 1) ( x + 1 ) – ( x – 1 )2
= ( x – 1) [(x+1)– ( x – 1 )]
= ( x – 1) [x+1–x+1]
= (x – 1) . 2 = 2(x-1)
8/ (2x +1)2 + (3x –1 )2 +2( (2x +1 ) (3x – 1 )
=[(2x +1)+(3x – 1 )]2
= (2x+1+3x–1)2
= (5x)2 = 25x2 
9/ (x2-1)(x+2) – (x-2)(x2+2x+4)
= x3+2x2–x–2 –(x3–23)
=x3+2x2–x–2 –x3+8
=2x2–x+8
10/ (x2+1)(x–3) – (x–3)(x2+3x+9)
= x3–3x2+x–3 – (x3–33)
= x3–3x2+x –3 – x3+27
= – 3x2+x+24
Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
1/ x2-y2-5x+5y 
2) 5x–5y+ax–ay
3) x3–2x2+x–xy2
4/ y2(x – 1) – 7y3 + 7xy3
5/ x3 – 3x2 +3x - 1
6/ 3x2 –3xy – 5x + 5y
7/ 2x – y2 + x2 + 1
8/ x3-2x2 + x
9/ x2 - y2 + 8x - 8y
10/ 5x2 + 5xy – x – y 
11/ 3x2–6xy+3y2–12z2
12/ 5x2 ( x – 2y ) – 15x ( 2y – x )
13/ x3 – 2x2 + x – xy2 
14/ 2x + 2y – x( x + y ) 
15/ x2 – 16 + y2 + 2xy
16/ x3+ 3x2 + x +3 
17/ x2 – 49 + y2 -2xy 
18/ (x3+x2+x+1)
19/ x2+5x+6
20/3x2 -8x +4 
21/ x2 – 3x + 2 
22/ 3x2 – 7x – 10 
Giải
1/ x2-y2-5x+5y =(x2 – y2) – (5x – 5y) 
= (x – y)(x+y) – 5(x – y)
= (x – y)(x+y – 5)
2) 5x–5y+ax–ay =(5x – 5y)+(ax – ay)
=5(x – y)+a(x – y)= (x – y)(5+a)
3) x3–2x2+x–xy2 =x[(x2 – 2x+1)– y2]
=x[(x – 1)2 – y2]
=x (x – 1 – y)(x – 1+y)
4/ y2(x – 1) – 7y3 + 7xy3
= y2(x – 1) – (7y3 – 7xy3)
= y2(x – 1) – 7y3(1 – x)
= y2(x – 1) + 7y3(x – 1)
= (x – 1) (y2+7y3)
= y2 (x – 1) (1+7y)
5/ x3 – 3x2 +3x – 1 = (x – 1)3
6/ 3x2 –3xy – 5x + 5y
= (3x2 –3xy) – (5x –5y)
=3x(x –y) –5 
=(x –y)(3x –5)
7/ 2x – y2 + x2 + 1= (x2 +2x + 1) – y2 
=(x+1)2 – y2 = (x+1+y)(x+1–y)
8/ x3-2x2 + x =x(x2 –2x+1)
=x(x–1)2
9/ x2 - y2 + 8x - 8y = (x2 - y2) +( 8x - 8y) 
= (x+y) (x–y)+8(x–y)= (x–y)(x+y+8)
10/ 5x2 + 5xy – x – y = (5x2 + 5xy )–(x + y) 
= 5x(x + y )–(x + y) = (x+y)(5x–1)
11/3x2–6xy+3y2–12z2=3[(x2–2xy+y2)–4z2]
=3[(x–y)2–(2z)2]=3(x–y–2z)(x–y+2z)
12/ 5x2 ( x – 2y ) – 15x ( 2y – x )
=5x2 ( x – 2y ) +15x ( x – 2y )
= ( x – 2y )(5x2+15x)= 5x ( x – 2y )(x+3)
13/ x3 – 2x2 + x – xy2 =x[(x2 – 2x +1)– y2 ]
=x[(x – 1)2– y2 ]=x(x–1–y)(x–1+y)
14/ 2x + 2y – x( x + y) = (2x +2y) – x(x + y)
=2(x +y) – x (x + y)=(x + y)(2–x)
15/ x2 – 16 + y2 + 2xy=(x2 + y2 + 2xy)– 16 
=(x+y)2– 42= (x+y– 4)(x+y+4)
16/ x3+ 3x2 + x +3 = (x3+ 3x2 )+( x +3)
=x2 (x+ 3)+( x +3)=( x +3)(x2+1)
17/ x2 – 49 + y2 -2xy =(x2-2xy+ y2 )– 49 
= (x–y2) – 72=(x–y–7)(x–y+7)
18/ (x3+x2+x+1) = (x3+x2)+(x+1)
= x2(x+1)+(x+1) = (x+1)(x2+1)
= (x+1)(x2+1)
19/ x2+5x+6 = (x2 +2x)+(3x+6)
=x(x+2)+3(x+2)=(x+2)(x+3)
20/ 3x2 –8x +4 = 3x2–6x–2x+4
=(3x2–6x)–(2x–4)= 3x(x–2)–2(x–2)
(x –2)(3x–2) 
21/ x2 – 3x + 2 = x2 – x – 2x+ 2 
= ( x2 – x) – ( 2x –2) = x( x – 1) – 2( x –1) 
= ( x–1)(x–2)
22/ 3x2 – 7x +10 = 3x2 – 10x +3x – 10 
= (3x2 –10x) +(3x–10)=x(3x–10) +(3x –10) 
= (3x –10) (x+1)
 BÀI 3 : Rút gọn phân thức ,rồi tính giá trị
 1/Cho phân thức M= 
 Rút gọn rồi tính giá trị của phân thức M tại x = 3
 2/Cho phân thức B = 
 Rút gọn rồi tính giá trị của phân thức B tại x = , y=2 
 3/ Cho phân thức Q = 
Rút gọn rồi tính giá trị của phân thức Q tại x = 2; y=3; z=4 
 4/Cho phân thức A = 
 Rút gọn rồi tính giá trị của phân thức A tại x = 2
 5/ Cho phân thức P = 
 Rút gọn rồi tính giá trị của phân thức P tại x = 
 6/ Cho phân thức D = 
 Rút gọn rồi tính giá trị của phân thức D tại x= – 4 , y= 
CÁCH RÚT GỌN: Trước tiên phân tích tử và mẫu thành nhân tử sau đó đơn giản nhân tử chung 
Giải
1/ M= =
 ==
Khi x=3 thì M = = =6
2/ B = = 
= 
Khi x = , y=2 Thì B= = –32 
3/Q = =
 == 
Khi x = 2; y=3; z=4 Thì Q = =5
4/ A = ==
Tại x = 2 Thì A = = =3
/ P = = 
 = = 
= 
Khi x = thì P= ==
 = === 
6/ D = = 
 = = 
 =
Khi x= – 4 , y= thì D= 
 ===
Bài 4: Thực hiện phép tính:
1/ 
2/ 
3) 
4) 
5/ 
6/ 
Qui tắc : Muốn cộng (Trừ) các phân thức trước tiên phải qui đồng mẫu thức các phân thức , sau đó cộng các phân thức đã qui đồng ( Tử cộng tử ,giữ nguyên mẫu chung ) ,sau đó rút gọn kết quả (nếu được )
 Giải
1/ = = 
= == ==
2/ =
 = 
 =
 = 
 = = 
3/ =
 =
 =
 = 
 == =
4) =
 ==
 = = 
5/ ===
 = =
6/ =
 = = 
 =
 =
 ===
Bài 5 :Tìm số x biết
1/ (x + 3)2 + x2 – 9 = 0
2/ x2 – 49 =0 
Cách giải : Phân tích vế trái thành nhân tử (Ta được tích các nhân tử bằng 0 ,Từ mỗi nhân tử bằng 0 ta tìm được một giá trị của x )
 Giải
1/ (x + 3)2 + x2 – 9 = 0
Û (x + 3)2 + (x –3)(x+3) = 0
Û (x+3)[(x+3)+(x+3)] =0
Û (x+3)(x+3+x+3) =0
Û (x+3)(2x+6) =0
Û2(x+3)(x+3) =0
Û2(x+3)2 =0
 Từ x+3=0 Suy ra x = –3 Vậy x = –3
2/ x2 – 49 =0 
Û x2 – 72 = 0
Û (x–7)(x+7) =0 
Û (x–7) =0 suy ra x=7
 Và (x+7) =0 suy ra x= – 7
Vậy: x=7và x= – 7
Bài 6 :
1/Cho biểu thức M= x2 – 4x +11 
Hãy chúng tỏ biểu thức M luôn lớn hơn 0 với mọi giá trị của x 
2/ Cho biểu thức : N = x2 – 2x +5 
Tìm giá trị nhỏ nhất của N 
Cách giải : Biến đổi biểu thức về dạng
 Giải
1/ M= x2 – 4x +11 = (x2-4x+4)+7
: N = x2 – 2x +5 
Ta biết : (x-2)2 ≥ 0 với mọi giá trị của xÎR
Nên (x-2)2 +7 ≥ 7 với mọi giá trị của xÎR
Vậy : M= x2 – 4x +11 luôn lớn hơn 0 với mọi giá trị của x 
2/ N = x2 – 2x +5 =(x2-2x+1)+3
 = (x– 1)2+3
Ta biết : (x-2)2 ≥ 0 với mọi giá trị của xÎR
Nên (x-2)2 +7 ≥ 7 với mọi giá trị của xÎR
Vậy : M= x2 – 4x +11 có giá trị nhỏ nhất bằng 7
ÔN TẬP TOÁN 8 HÌNH HỌC HỌC KỲ I (2009-2010)
Bài 1: Cho ABC cân tại A, đường trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của AC, K là điểm đối xứng với điểm M qua điểm I.
a/ Chứng minh tứ giác AMCK là hình chữ nhật
b/ Chứng minh tứ giác AKMB là hình bình hành
c/ Biết AC = 5cm, BC = 6cm. Tính SAMCK 
d/ Tìm điều kiện của ABC để tứ giác AMCK là hình vuông
Giải
a/ Chứng minh tứ giác AMCK là hình chữ nhật
IA = IC và IM = IK nên AMCK là hình bình hành 
Mà AM vuông góc với BC ( do tam giác ABC cân tại A) Do đó hình bình hành AMCK có một góc vuông là hình chữ nhật 
b/Chứng minh tứ giác AKMB là hình bình hành
MI là đường trung bình của tam giác ABC ,nên MI ∥AC Þ MK ∥AC
Và MI= Þ 2MI =AC
 Þ MK = AC
Tứ giác AKMB có hai cạnh đối vừa song song , vừa bằng nhau nên là hình bình hành
c/ Biết AC = 5cm, BC = 6cm.
 Tính SAMCK 
Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông MAC : AM2= AC2-MC2 
 AM2= 52-32 
 AM2= (5-3)(5+3)=16
 AM = 4 (cm)
SAMCK =AM.MC= 4cm .3 cm = 12 cm2
d/Tìm điều kiện của ABC để tứ giác AMCK là hình vuông
Để AMCK là hình vuông thì AM = MC hay AM = Vì vậy Tam giác cân ABC phải vưông tại A ( Trung tuyến AM bằng nửa cạnh huyền )
Bài 2: Cho D ABC vuông tại A, điểm D là trung điểm của BC. Gọi M là điểm đối xứng với D qua AB, E là giao điểm của DM với AB. N là điểm đối xứng với B qua AC; F là giao điểm của DN và AC.
a) Tứ giác AEDF là hình gì ? Vì sao ?
b) Các tứ giác ADBM; ADCN là hình gì ? Vì sao ?
c) Chứng minh rằng: M đối xứng N qua A.
d) D ABC có điều kiện gì thì tứ giác AEDF là hình vuông ?
Giải
a) Tứ giác AEDF là hình gì ? Vì sao ?
Tứ giác AEDF là hình chũ nhật . vì có ba góc vuông 
b) Các tứ giác ADBM; ADCN là hình gì ? Vì sao ?
 Tứ giác ADBM là hình thoi 
Vì : EM=ED , EA=EB (Do DE là đường trung bình tam giác ABC)và AB ^ DM
 Tứ giác ADBM là hình thoi 
Vì : FN=FD , FA=FC (Do DF là đường trung bình tam giác ABC)và AC ^ DN
c)Chứng minh rằng: M đối xứng N qua A.
Do tứ giác ADBM; ADCN là hình thoi nên BD =MA và DC=AN mà BD=DC 
Suy ra : MA=AN (1)
 = (đồng vị )
=(đồng vị )
Mà+=900(Tổng hai góc nhọn của tam giác vuông )
Suy ra +=900
Do đó ++=1800
Hay ba điểm M,A,N thẳng hàng (2)
Từ (1) và (2) Kết luận:M đối xứng N qua A. 
d) D ABC có điều kiện gì thì tứ giác AEDF là hình vuông ?
Để tứ giác AEDF là hình vuông thì EA=AF suy ra AB=AC
Vậy tam giác vuông ABC phải cân tại A
Bài 3 : Cho tam giác ABC cân tại A , trung tuyến AM . Gọi I là trung điểm của AC , N là điểm đối xứng với M qua I .
 a/ Chứng minh tứ giác AMCN là hình chữ nhật .
 b/ Tứ giác ABMN là hình gì ? Vì sao ?
 c/ Tìm điều kiện của tam giác ABC để AMCN là hình vuông ? Khi đó hãy tính chu vi và diện tích của hình vuông AMCN . Biết rằng BC = 20 Cm .
Giải
B
M
A
N
C
I
a/ Chứng minh tứ giác AMCN là hình chữ nhật .
Ta có : 
IA = IC và IM = IN nên AMCN là hình bình hành 
Mà AM vuông góc với BC ( do tam giác ABC cân tại A) Do đó hình bình hành AMCN có một góc vuông là hình chữ nhật 
b/Tứ giác ABMN là hình gì ? Vì sao ?
Tứ giác ABMN là hình bình hành .
Vì : MI là đường trung bình của tam giác ABC ,nên MI ∥AC Þ MN ∥AC
 Và MI= Þ 2MI =AC
MN = AC
(Tứ giác có hai cạnh đối vừa song song , vừa bằng nhau)
c/ Tìm điều kiện của tam giác ABC để AMCN là hình vuông ? 
Để AMCN là hình vuông thì AM = MC hay AM = Vì vậy Tam giác cân ABC phải vưông tại A ( Trung tuyến AM bằng nửa cạnh huyền )
 Nếu BC = 20cm thì cạnh hình vuông MC = 10 cm 
 Chu vi hình vuông AMCN bằng :10 cm .4= 40 cm 
 Diện tích hình vuông AMCN bằng : 10 cm . 10 cm = 100 cm2