Bài tập ôn tập chương III môn Toán Lớp 8

Chương III: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
š&›
Tóm tắt lý thuyết
Hai phương trình gọi là tương đương với nhau khi chúng có chung tập hợp nghiệm. Khi nói hai phương trình tương đương với nhau ta phải chú ý rằng các phương trình đó được xét trên tập hợp số nào, có khi trên tập này thì tương đương nhưng trên tập khác thì lại không.
Phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình có dạng ax + b = 0 (a ¹ 0). Thông thường để giải phương trình này ta chuyển những đơn thức có chứa biến về một vế, những đơn thức không chứa biến về một vế.
Phương trình quy về phương trình bậc nhất
Dùng các phép biến đổi như: nhân đa thức, quy đồng mẫu số, chuyển vếđể đưa phương trình đã cho về dạng ax + b = 0.
Phương trình tích là những phương trình sau khi biến đổi có dạng:
A(x) . B(x) = 0 Û A(x) = 0 hoặc B(x) = 0
Phương trình chứa ẩn ở mẫu: ngoài những phương trình có cách giải đặc biệt, đa số các phương trình đều giải theo các bước sau:
Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ).
Quy đồng mẫu thức và bỏ mẫu.
Giải phương trình sau khi bỏ mẫu.
Kiểm tra xem các nghiệm vừa tìm được có thỏa ĐKXĐ không. Chú ý chỉ rõ nghiệm nào thỏa, nghiệm nào không thỏa.
Kết luận số nghiệm của phương trình đã cho là những giá trị thỏa ĐKXĐ.
Giải toán bằng cách lập phương trình:
Bước 1: Lập phương trình:
Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.
Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
Lập phương trình bểu thị mối quan hệ giữa các đạn lượng.
Bước 2: Giải phương trình.
Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không thỏa, rồi kết luận. 
Chú ý: 
Số có hai, chữ số được ký hiệu là 
Giá trị của số đó là: = 10a + b; (Đk: 1 £ a £ 9 và 0 £ b £ 9, a, b Î N)
Số có ba, chữ số được ký hiệu là 
= 100a + 10b + c, (Đk: 1 £ a £ 9 và 0 £ b £ 9, 0 £ c £ 9; a, b, c Î N)
Toán chuyển động: Quãng đường = vận tốc x thời gian 
Hay S = v . t
BÀI TẬP
Hãy chỉ ra các phương trình bậc nhất trong các phương trình sau:
a) 1 + x = 0	b) x + x2 = 0	c) 1 – 2t = 0	d) 3y = 0	
e) 0x – 3 = 0	f) (x2 + 1)(x – 1) = 0	g) 0,5x – 3,5x = 0	h) – 2x2 + 5x = 0 
Cho hai phương trình: 	x2 – 5x + 6 = 0	(1)
x + (x – 2)(2x + 1) = 2.	(2)
Chứng minh hai phương trình có nghiệm chung là x = 2.
Chứng minh: x = 3 là nghiệm của (1) nhưng không là nghiệm của (2).
Hai phương trình đã cho có tương đương với nhau không, vì sao ?
Giải các phương trình sau:
1.	a) 7x + 12 = 0	b) 5x – 2 = 0	c) 12 – 6x = 0	d) – 2x + 14 = 0
2.	a) 3x + 1 = 7x – 11	b) 2x + x + 12 = 0	c) x – 5 = 3 – x 	d) 7 – 3x = 9 – x 
	e) 5 – 3x = 6x + 7	f) 11 – 2x = x – 1	g) 15 – 8x = 9 – 5x	h) 3 + 2x = 5 + 2x
3.	a) 0,25x + 1,5 = 0	b) 6,36 – 5,2x = 0	c) 	d) 
Chứng tỏ rằng các phương trình sau đây vô nghiệm:
	a) 2(x + 1) = 3 + 2x	b) 2(1 – 1,5x) + 3x = 0	c) | x | = –1 	d) x2 + 1 = 0
Giải các phương trình sau, viết số gần đúng của nghiệm ở dạng số thập phân bằng cách làm tròn đến hàng phần trăm:
a) 3x – 11 = 0	b) 12 + 7x = 0	c) 10 – 4x = 2x – 3 	e) 5x + 3 = 2 – x 
Xét tính tương đương của các phương trình: 
(1 – x)(x + 2) = 0 	(1)
(2x – 2)(6 + 3x)(3x + 2) = 0 	(2)
(5x – 5)(3x + 2)(8x + 4)(x2 – 5) = 0 	(3)
Khi 	a) Ẩn số x chỉ nhận những giá trị trên tập N. 
	b) Ẩn số x chỉ nhận những giá trị trên tập Z.
	c) Ẩn số x chỉ nhận những giá trị trên tập Q.
	d) Ẩn số x chỉ nhận những giá trị trên tập R.
Trong các cặp phương trình sau hãy chỉ ra các cặp phương trình tương đương, không tương đương. Vì sao ?
a) 3x + 2 = 1 	và 	x + 1 = 
b) x + 2 = 0	và 	(x + 2)(x – 1) = 0
c) x + 2 = 0	và 	(x + 2)(x2 + 1) = 0 
d) x2 – 4 + 	và	x2 – 4 = 0	
e) 2x + 3 = x + 5	và	2x + 3 + = x + 5 + 
f) 2x + 3 = x + 5	và	2x + 3 + = x + 5 + 
g) x + 7 = 9	và	x2 + x + 7 = 9 + x2
h) (x + 3)3 = 9(x + 3)	và	(x + 3)3 – 9(x + 3) = 0 
i) 0,5x2 – 7,5x + 28 = 0 	và	x2 – 15x + 56 = 0
j) 2x – 1 = 3	và	x(2x – 1) = 3x
Tìm giá trị của k sao cho:
Phương trình: 2x + k = x – 1 	có nghiệm x = – 2. 
Phương trình: (2x + 1)(9x + 2k) – 5(x + 2) = 40 	có nghiệm x = 2 
Phương trình: 2(2x + 1) + 18 = 3(x + 2)(2x + k) 	có nghiệm x = 1
Phương trình: 5(m + 3x)(x + 1) – 4(1 + 2x) = 80	có nghiệm x = 2
Tìm các giá trị của m, a và b để các cặp phương trình sau đây tương đương:
mx2 – (m + 1)x + 1 = 0	và	(x – 1)(2x – 1) = 0
(x – 3)(ax + 2) = 0	và	(2x + b)(x + 1) = 0
Giải các phương trình sau:
1. 	a)	3x – 2 = 2x – 3	b)	3 – 4y + 24 + 6y = y + 27 + 3y
	c)	7 – 2x = 22 – 3x	d)	8x – 3 = 5x + 12
	e)	x – 12 + 4x = 25 + 2x – 1	f)	x + 2x + 3x – 19 = 3x + 5
	g)	11 + 8x – 3 = 5x – 3 + x	h)	4 – 2x + 15 = 9x + 4 – 2x
2.	a)	5 – (x – 6) = 4(3 – 2x)	b)	2x(x + 2)2 – 8x2 = 2(x – 2)(x2 + 2x + 4) 
	c)	7 – (2x + 4) = – (x + 4)	d)	(x – 2)3 + (3x – 1)(3x + 1) = (x + 1)3
	e)	(x + 1)(2x – 3) = (2x – 1)(x + 5)	f)	(x – 1)3 – x(x + 1)2 = 5x(2 – x) – 11(x + 2)
	g)	(x – 1) – (2x – 1) = 9 – x	h)	(x – 3)(x + 4) – 2(3x – 2) = (x – 4)2	
	i) 	x(x + 3)2 – 3x = (x + 2)3 + 1	j)	(x + 1)(x2 – x + 1) – 2x = x(x + 1)(x – 1) 
3.	a)	1,2 – (x – 0,8) = –2(0,9 + x)	b)	3,6 – 0,5(2x + 1) = x – 0,25(2 – 4x) 
	c)	2,3x – 2(0,7 + 2x) = 3,6 – 1,7x 	d) 	0,1 – 2(0,5t – 0,1) = 2(t – 2,5) – 0,7
	e)	3 + 2,25x +2,6 = 2x + 5 + 0,4x	f)	5x + 3,48 – 2,35x = 5,38 – 2,9x + 10,42
4. 	a)	b) 	
	c)	d) 	
	e)	f) 	
	g)	h) 	
	i) 	k) 	
	m) 	n) 	
	p) 	q) 	
	r) 	s) 	
	t) 	u) 	
	v)	w)	
5.	a)	b)	
	c)	d)	
	e)	f)	
	g)	h)	
Tìm giá trị của x sao cho các biểu thức A và B cho sau đây có giá trị bằng nhau:
A = (x – 3)(x + 4) – 2(3x – 2)	và	B = (x – 4)2
A = (x + 2)(x – 2) + 3x2	và 	B = (2x + 1)2 + 2x
A = (x – 1)(x2 + x + 1) – 2x	và 	B = x(x – 1)(x + 1)
A = (x + 1)3 – (x – 2)3	và	B = (3x –1)(3x +1).
Giải các phương trình sau:
a) 	b) 
c) 
Giải các phương trình sau:
a) 	b) 
Giải các phương trình sau:
a) 	b) 
c) 	d) 
e) 	f) 
g) 	h) 
i) 
j) 
(Đề thi Học sinh giỏi lớp 8 toàn quốc năm 1978)
Tìm điều kiện xác định của các phương trình sau:
	a)	3x2 – 2x = 0	b)	
	c)	d)	
	e)	f)	
Giải các phương trình sau:
1.	a) 	b)	c)	
	d)	e)	f)	
	g)	h)	
2.	a) 	b) 	
	c) 	d) 	
	e) 	f)	
	i)	j)	
3.	a)	b)	
	c)	d)	
	e)	f) 	
	g)	h) 	
	i)	j) 	
	k)	l) 	
	m)	n)	
	o)	p)	
4.	a)	b)	
	c)	d)	
	e)	f)	
	g)	h)	
	i)	j)	
Giải các phương trình sau:
	a)	b)	
	c)	d)	
	e)	f)	
	g)	h)	
	i)	j)	
	k)	l)	
	m) 	n)	
Giải các phương trình sau:
a) 	b) 
c) 	d) 
Tìm các giá trị của a sao cho mỗi biểu thức sau có giá trị bằng 2.
	a)	b)	
	c)	d)	
Tìm x sao cho giá trị của hai biểu thức và bằng nhau.
Tìm y sao cho giá trị của hai biểu thức và bằng nhau.
Cho phương trình (ẩn x): 
Giải phương trình với a = – 3.
Giải phương trình với a = 1.
Giải phương trình với a = 0.
Tìm các giá trị của a sao cho phương trình nhận x = làm nghiệm.
Giải các phương trình sau:
1.	a)	(3x – 2)(4x + 5) = 0	b)	(2,3x – 6,9)(0,1x + 2) = 0
c)	(4x + 2)(x2 + 1) = 0 	d)	(2x + 7)(x – 5)(5x + 1) = 0
e)	(x – 1)(2x + 7)(x2 + 2) = 0	f)	(4x – 10)(24 + 5x) = 0
g)	(3,5 – 7x)(0,1x + 2,3) = 0	h)	(5x + 2)(x – 7) = 0
i)	15(x + 9)(x – 3) (x + 21) = 0	j)	(x2 + 1)(x2 – 4x + 4) = 0
k)	(3x – 2) = 0	l)	(3,3 – 11x)= 0
2.	a)	(3x + 2)(x2 – 1) = (9x2 – 4)(x + 1)	b)	x(x + 3)(x – 3) – (x + 2)(x2 – 2x + 4) = 0
c)	2x(x – 3) + 5(x – 3) = 0	d)	(3x – 1)(x2 + 2) = (3x – 1)(7x – 10)
e)	(x + 2)(3 – 4x) = x2 + 4x + 4	f)	x(2x – 7) – 4x + 14 = 0 
g)	3x – 15 = 2x(x – 5)	h)	(2x + 1)(3x – 2) = (5x – 8)(2x + 1)
i)	0,5x(x – 3) = (x – 3)(1,5x – 1)	j)	(2x2 + 1)(4x – 3) = (x – 12)(2x2 + 1)	
k)	x(2x – 9) = 3x(x – 5)	l)	(x – 1)(5x + 3) = (3x – 8)(x – 1)
m)	2x(x – 1) = x2 - 1	n) 	(2 – 3x)(x + 11) = (3x – 2)(2 – 5x)	
o)	p)	
q)	r)	
s)	(x + 2)(x – 3)(17x2 – 17x + 8) = (x + 2)(x – 3)(x2 – 17x +33)
3.	a)	(2x – 5)2 – (x + 2)2 = 0	b)	(3x2 + 10x – 8)2 = (5x2 – 2x + 10)2 
c)	(x2 – 2x + 1) – 4 = 0 	d)	4x2 + 4x + 1 = x2
e)	(x + 1)2 = 4(x2 – 2x + 1)2	f)	(x2 – 9)2 – 9(x – 3)2 = 0
g)	9(x – 3)2 = 4(x + 2)2	h)	(4x2 – 3x – 18)2 = (4x2 + 3x)2
i)	(2x – 1)2 = 49	j)	(5x – 3)2 – (4x – 7)2 = 0
k)	(2x + 7)2 = 9(x + 2)2	l)	4(2x + 7)2 = 9(x + 3)2
m)	(x2 – 16)2 – (x – 4)2 = 0	n)	(5x2 – 2x + 10)2 = (3x2 + 10x – 8)2
o)	p)	
q)	r)	
4.	a)	3x2 + 2x – 1 = 0	b)	x2 – 5x + 6 = 0
c)	x2 – 3x + 2 = 0	d)	2x2 – 6x + 1 = 0
e)	4x2 – 12x + 5 = 0	f)	2x2 + 5x + 3 = 0
g)	x2 + x – 2 = 0	h)	x2 – 4x + 3 = 0
i)	2x2 + 5x – 3 = 0	j)	x2 + 6x – 16 = 0
5.	a)	3x2 + 12x – 66 = 0	b)	9x2 – 30x + 225 = 0
c)	x2 + 3x – 10 = 0	d)	3x2 – 7x + 1 = 0
e)	3x2 – 7x + 8 = 0	f)	4x2 – 12x + 9 = 0
g)	3x2 + 7x + 2 = 0	h)	x2 – 4x + 1 = 0
i)	2x2 – 6x + 1 = 0	j)	3x2 + 4x – 4 = 0
6.	a)	(x – ) + 3(x2 – 2) = 0	b)	x2 – 5 = (2x – )(x + ) 
7.	a)	2x3 + 5x2 – 3x = 0	b)	2x3 + 6x2 = x2 + 3x
c)	x2 + (x + 2)(11x – 7) = 4	d)	(x – 1)(x2 + 5x – 2) – (x3 – 1) = 0
e)	x3 + 1 = x(x + 1)	f)	x3 + x2 + x + 1 = 0 
g)	x3 – 3x2 + 3x – 1 = 0	h)	x3 – 7x + 6 = 0
i)	x6 – x2 = 0	j)	x3 – 12 = 13x
k)	– x5 + 4x4 = – 12x3	l)	x3 = 4x
Cho phương trình (ẩn x): 4x2 – 25 + k2 + 4kx = 0
	a) Giải phương trình với k = 0	b) Giải phương trình với k = – 3 
	c) Tìm các giá trị của k để phương trình nhận x = – 2 làm nghiệm. 
Cho phương trình (ẩn x): x3 + ax2 – 4x – 4 = 0
Xác định m để phương trình có một nghiệm x = 1.
Với giá trị m vừa tìm được, tìm các nghiệm còn lại của phương trình. 
Cho phương trình (ẩn x): x3 – (m2 – m + 7)x – 3(m2 – m – 2) = 0
Xác định a để phương trình có một nghiệm x = – 2.
Với giá trị a vừa tìm được, tìm các nghiệm còn lại của phương trình. 
Cho biểu thức hai biến: f(x, y) = (2x – 3y + 7)(3x + 2y – 1)
Tìm các giá trị của y sao cho phương trình (ẩn x) f(x, y) = 0 nhận x = – 3 làm nghiệm.
Tìm các giá trị của x sao cho phương trình (ẩn y) f(x, y) = 0 nhận y = 2 làm nghiệm.
Cho 2 biểu thức: và .
Hãy tìm các giá trị của m để hai biểu thức ấy có giá trị thỏa mãn hệ thức:
	a) 2A + 3B = 0	b) AB = A + B
Dùng máy tính bỏ túi để tính giá trị gần đúng các nghiệm phương trình sau, làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba.
	a) 	b) 
	c) 	d) 
	e) 	f) 
Bài toán cổ: “ Ngựa và La đi cạnh nhau càng chở vật nặng trên lưng. Ngựa than thở về hành lý quá nặng của mình. La đáp: “Cậu than thở nỗi gì ? Nếu tôi lấy của cậu một bao thì hành lý của tôi nặng gấp đôi của cậu. Còn nếu cậu lấy của tôi một bao thì hành lý của cậu mới bằng của tôi”. Hỏi Ngựa và La mỗi con mang bao nghêu bao ? 
Năm 1999, bố 39 tuổi, con 9 tuổi. Hỏi năm nào thì tuổi bố gấp 3 lần tuổi con ? 
Năm nay, tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi Phương. Phương tính rằng 13 năm nữa thì tuổi mẹ chỉ còn gấp 2 lần tuổi của Phương thôi. Hỏi năm nay Phương bao nhiêu tuổi ? 
Ông của Bình hơn Bình 58 tuổi. Nếu cộng tuổi của bố Bình và hai lần tuổi của Bình thì bằng tuổi của ông và tổng số tuổi của cả ba người là 130. Hãy tính tuổi của Bình.
An hỏi Bình: “Năm nay cha mẹ của anh bao nhiêu tuổi ?” Bình trả lời: “Cha tôi hơn mẹ tôi 4 tuổi. Trước đây khi tổng số tuổi của bố và mẹ tôi là 104 tuổi thì tuổi của 3 anh em chúng tôi  ... oàn tàu khác khởi hành từ Nam Định cũng đi Tp. Hồ Chí Minh với vận tốc nhỏ hơn vận tốc của đoàn tàu thứ nhất là 5km/h. Hai đoàn tàu gặp nhau (tại một ga nào đó) sau 4 giờ 48 phút kể từ lúc đoàn tàu thứ nhất khởi hành. Tính vận tốc mỗi đoàn tàu, biết rằng ga Nam Định nằm trên đường từ Hà Nội đi Tp. Hồ Chí Minh và cách ga Hà Nội là 87km.
Ôtô I đi từ A đến B. Nửa giờ sau, ôtô II đi từ B đến A với vận tốc gấp rưỡi vận tốc ôtô I. Sau đó 45 phút hai ôtô gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi ôtô, biết quãng đường AB dài 95km.
Ôtô I đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc 40km/h. Sau đó 1 giờ, ôtô II đi từ tỉnh B đến tỉnh A với vận tốc 65km/h. Hai ôtô gặp nhau khi ôtô I mới đi được quãng đường AB. Tính quãng đường AB.
Lúc 6 giờ một ôtô khởi hành từ A. Lúc 7 giờ 30 phút, ôtô II cũng khởi hành từ A với vận tốc lớn hơn vận tốc ôtô I là 20km/h và gặp ôtô I lúc 10 giờ 30 phút. Tính vận tốc mỗi ôtô. 
Một người đi xe dạp từ A đến B. Lúc đầu, trên đoạn đường đá, người đó đi với vận tốc 10km/h. Trên đoạn đường còn lại là đường nhựa, dài gấp rưỡi đoạn đường đá, người đó đi với vận tốc 15km/h. Sau 4 giờ người đó đến B. Tính độ dài quãng đường AB. 
Hai ôtô cùng khởi hành từ Lạng Sơn về Hà Nội, quãng đường dài 163km. Trong 43km đầu, hai xe có cùng vận tốc. Nhưng sau đó chiếc xe thứ nhất tăng vận tốc lên gấp 1,2 lần vận tốc ban đầu, trong khi chiếc xe thứ hai vẫn duy trì vận tốc cũ. Do đó xe thứ nhất đã đến Hà Nội sớm hơn xe thứ hai 40 phút. Tính vận tốc ban đầu của hai xe. 
Một xe tải đi từ A đến B với vận tốc 50km/h. Đi được 24 phút thì gặp đường xấu nên vận tốc trên quãng đường còn lại giảm còn 40km/h. Vì vậy đã đến nơi chậm mất 18 phút. Tính quãng đường AB.
Anh Nam đi xe đạp tờ A đến B với vận tốc 12km/h. Đi được 6km, xe đạp hư, anh Nam phải đi bằng ôtô và đã đến B sớm hơn dự định 45 phút. Tính quãng đường AB, biết vận tốc của ôtô là 30km/h. 
Hai ôtô khởi hành cùng lúc ngược chiều nhau và gặp nhau sau 4 giờ. Ôtô I đi từ A với vận tốc bằng vận tốc của ôtô II đi từ B. Hỏi mỗi ôtô đi cả quãng đường AB thì mất bao lâu ?
Một ôtô đi từ A đến B với vận tốc 60km/h và quay từ B về A với vận tốc 40km/h. Tính vận tốc trung bình của ôtô.
Một ôtô đi từ A đến B với vận tốc 48km/h. Nhưng sau khi đi được một giờ với vận tốc ấy, ôtô bị tàu hỏa chắn đường 10 phút. Do đó để kịp đến B đúng thời gian đã định, người đó phải tăng vận tốc thêm 6km/h. Tính quãng đường AB.
Một người đi từ A đến B với vận tốc 25km/h. Lúc về người đó đi với vận tốc 30km/h nên thời gian về ít hơn thời gian đi là 20 phút. Tính quãng đường AB.
Một canô xuôi dòng từ A đến B mất 4 giờ và ngược dòng từ B về A mất 5 giờ. Tìm đoạn đường AB, biết vận tốc của dòng nước là 2km/h. 
Lúc 7 giờ sáng, một canô xuôi dòng từ A đến B cách nhau 36km, rồi ngay lập tức quay trở về và đến A lúc 11 giờ 30 phút. Tính vận tốc của canô khi xuôi dàng, biết vận tốc của dòng nước là 6km/h. 
Một đội thợ mỏ lập kế hoạch khai thác than, theo đó mỗi ngày phải khai thác được 50 tấn than. Khi thực hiện, mỗi ngày đội khai thác được 57 tấn than. Do đó, đội không những đã hoàn thành kế hoạch trước một ngày mà còn vượt mức 13 tấn than. Hỏi theo kế hoạch, đội phải khai thác bao nhiêu tấn than ? 
Một xí nghiệp ký hợp đồng dệt một số tấm thảm len trong 20 ngày. Do cải tiến kĩ thuật, năng suất dệt của xí nghiệp đã tăng 20%. Bởi vậy, chỉ trong 18 ngày, không những xí nghiệp đã hoàn thành số thảm cần dệt mà còn dệt thêm được 24 tấm nữa. Tính số tấm thảm len mà xí nghiệp phải dệt theo hợp đồng. 
Một đội sản xuất dự định phải làm một số dụng cụ trong 30 ngày. Do mỗi ngày đã vượt năng suất so với dự định 10 dụng cụ nên không những đã làm thêm được 20 dụng cụ mà tổ đó còn làm xong trước thời hạn 7 ngày. Tính số dụng cụ mà tổ sản xuất đó phải làm theo kế hoạch.
Một đội sản xuất dự định phải làm 1500 sản phẩm trong 30 ngày. Do mỗi ngày đã vượt năng suất so với dự định 15 sản phẩm. Do đó đội đã không những đã làm thêm được 255 sản phẩm mà còn làm xong trước thời hạn. Hỏi thực tế đội sản xuất đã rút ngắn được bao nhiêu ngày ?
Hai vòi nước cùng chảy vào một bể thì sau 2 giờ bể đầy. Mỗi giờ lượng nước vòi I chảy được bằng lượng nước chảy được của vòi II. Hỏi mỗi vòi chảy riêng trong bao lâu thì đầy bể?
Một vòi nước chảy vào bể không có nước. Cùng lúc đó, một vòi chảy từ bể ra. Mỗi giờ lượng nước chảy ra bằng lượng nước chảy vào. Sau 5 giờ, nước trong bể đạt tới dung tích bể. Hỏi nếu bể không có nước và chỉ mở vòi chảy vào thì trong bao lâu thì đầy bể ?
Hai người cùng làm một công việc trong 3 giờ 20 phút thì xong. Nếu người I làm 3 giờ và người II làm 2 giờ thì tất cả được công việc. Hỏi mỗi người làm một mình trong bao lâu thì xong công việc đó ?
Bài toán cổ: 	Một đàn em nhỏ đứng bên sông
To nhỏ bàn nhau chuyện chia bòng
Mỗi người năm quả thừa năm quả
Mỗi người sáu quả một người không
Hỏi người bạn trẻ đang dừng bước:
Có mấy em thơ, mấy quả bòng ?
Đầu năm học một tổ học sinh được mua một số sách vở, phải trả 72.000đ. Nếu bớt đi 3 người thì mỗi người còn lại phải trả thêm 4000đ. Hỏi tổ có bao nhiêu người ?
(Đề dự bị thi vào lớp 8 chuyên toán Hà Nội năm 1981)
CÁC ĐỀ ÔN TẬP
ĐỀ 1
LÝ THUYẾT
Trong các câu sau câu nào đúng, câu nào sai ?
Hai phương trình vô nghiệm thì tương đương nhau.
Hai ph/trình tương đương nhau trên tập hợp số Q thì cũng tương đương nhau trên tập R.
Giá trị của số có hai chữ số là: = 10b + a.
A(x) . B(x) ¹ 0 Û A(x) ¹ 0 hoặc B(x) ¹ 0
Khi chuyển chia 2 vế của một phương trình với một biểu thức có chứa ẩn thì ta được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho.
Giá trị của một phân thức được xác định khi mẫu thức khác 0 và tử thức bằng 0.
Chọn câu đúng:
Một phương trình bậc nhất có thể:
Vô nghiệm.
Luôn luôn có một nghiệm duy nhất.
Có vô số nghiệm.
Có thể vô nghiệm, có thể có một nghiệm duy nhất và cũng có thể có vô số nghiệm.
Chỉ có một nghiệm là x = – 4. 
BÀI TẬP
Giải các phương trình sau:
a) 	– 6(1,5 – 2x) = 3(–15 + 2x)	b)	
c)	d)	
d)	(x2 – 4) + (x – 2)(3 – 2x) = 0
Cho phương trình: 3x2 + 7x + m = 0 có một trong các nghiệm bằng 1. Xác định số m và tìm nghiệm còn lại.
Tìm một số có hai chữ số. Biết tỉ số giữa chữ số hàng đơn vị và chữ số hàng chục là . Nếu viết thêm chữ số 0 vào giữa hai chữ số thì được số mới lớn hơn số đã cho 540 đơn vị.
ĐỀ 2
LÝ THUYẾT
Trong các câu sau câu nào đúng, câu nào sai ?
Hai phương trình tương đương nhau thì cùng vô nghiệm.
Phương trình ax = b luôn có một nghiệm duy nhất là .
Phương trình 0x = 0 có tập hợp nghiệm là S = Æ. 
Giá trị của số có hai chữ số là: = 10a + b. 
Khi chuyển vế một hạng tử từ vế này sang vế kia thì ta được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho.
Một phân thức có giá trị bằng 0 khi tử thức bằng không và mẫu thức khác 0.
Chọn câu đúng:
Cho phương trình: . Điều kiện xác định của phương trình này là:
x ¹ – 1 và x ¹ 1 và x ¹ 2.
x ¹ 1 hoặc x ¹ 2.
x ¹ – 1 hoặc x ¹ 1 hoặc x ¹ 2.
x ¹ 1 và x ¹ 2.
BÀI TẬP
Giải các phương trình sau:
a)	3 – 4x(25 – 2x) = 8x2 + x – 300	b)	
c)	d)	
d)	(2x – 1)2 + (2 – x)(2x – 1) = 0
Cho phương trình: 0,1x2 – x + k = 0 có một trong các nghiệm bằng – 1. Xác định số k và tìm nghiệm còn lại.
Chu vi hình vuông thứ I lớn hơn chu vi hình vuông thứ II là 12cm, còn diện tích thì lớn hơn 135m2. Tính cạnh của mỗi hình vuông.
ĐỀ 3
LÝ THUYẾT
Trong các câu sau câu nào đúng, câu nào sai ?
Nếu phương trình này có nghiệm duy nhất là 1 còn phương trình kia có một nghiệm là 1 thì hai phương trình đó tương đương nhau.
A(x) . B(x) ¹ 0 Û A(x) ¹ 0 và B(x) ¹ 0
Khi nhân 2 vế của một phương trình với một số khác 0 thì ta được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho.
Một phân thức có giá trị bằng 0 khi tử thức bằng không hoặc mẫu thức khác 0.
Giá trị của một phân thức được xác định khi mẫu thức khác 0 và tử thức khác 0.
Phương trình 0x = – 2 có tập hợp nghiệm là S = Æ.
Phương trình ax + b = 0 (a ¹ 0) luôn có một nghiệm duy nhất là .
Chọn câu đúng:
Cho phương trình: (2x2 + 1)(4x – 3) = (x – 15)(2x2 + 1), nghiệm phương trình này là:
x = , x = – 4.
x = , x = .
x = , x = 4.
Kết quả khác.
BÀI TẬP
Giải các phương trình sau:
a)	3(2,2 – 0,3x) = 2,6 + (0,1x – 4)	b)	
c)	d)	
e)	4x2 – 1 = (2x + 1)(3x – 5)
Cho phương trình: 15x2 + bx – 1 = 0 có một trong các nghiệm bằng . Xác định số b và tìm nghiệm còn lại.
Một đội máy cày dự định một ngày cày 40 ha. Khi thực hiện, mỗi ngày cày được 52 ha. Vì vậy, không những đã cày xong trước 2 ngày mà còn cày thêm 4 ha nữa. Tính diện tích ruộng mà đội phải cày theo kế hoạch đã định. 
ĐỀ 4
LÝ THUYẾT
Trong các câu sau câu nào đúng, câu nào sai ?
Hai phương trình tương đương nhau trên tập hợp số N thì cũng tương đương nhau trên các tập Z, Q và R.
Giá trị của một phân thức được xác định khi mẫu thức khác 0.
Một phân thức có giá trị bằng 0 khi tử thức bằng không hoặc mẫu thức bằng 0.
Khi chuyển chia 2 vế của một phương trình với một số khác 0 thì ta được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho.
A(x) . B(x) = 0 Û A(x) = 0 hoặc B(x) = 0
Phương trình 0x = 0 có tập hợp nghiệm là S = R.
Chọn câu đúng:
Cho phương trình: (x – 1)(x + 7)(x2 + 2) = 0. Tập hợp nghiệm của phương trình này là:
S = {– 7; – 2; 1}.
S = {– 2;– 1; 7 }.
S = {– 2; 1; 7}}.
S = {– 7; 1}.
BÀI TẬP
Giải các phương trình sau:
a)	(x – 2)3 + (3x – 1)(3x + 1) = (x + 1)3	b)	
c)	d)	
e)	3x(25x + 15) – 35(5x + 3) = 0
Cho 2 biểu thức: và .
Hãy tìm các giá trị của m để tổng hai biểu thức bằng tích của chúng.
Một học sinh mang một số tiền đi mua tập. Nếu mua tập loại 2 sẽ mua được 40 quyển. Nếu mua tập loại 1 thì mua được ít hơn 10 quyển vì mỗi quyển loại 1 đắt hơn mỗi quyển loại 2 là 60 đồng. Tính xem học sinh đó đã mang đi bao nhiêu tiền ?
ĐỀ 5
LÝ THUYẾT
Trong các câu sau câu nào đúng, câu nào sai ?
Hai phương trình tương đương nhau trên tập hợp số Z thì cũng tương đương nhau trên các tập Q và R.
Phương trình ax + b = 0 luôn có một nghiệm duy nhất là .
Phương trình 0x = – 2 có tập hợp nghiệm là S = R.
Khi chuyển nhân 2 vế của một phương trình với một biểu thức có chứa ẩn thì ta được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho.
Một phân thức có giá trị bằng 0 khi tử thức bằng không và mẫu thức bằng 0.
A(x) . B(x) = 0 Û A(x) = 0 và B(x) = 0
Chọn câu đúng:
Trong hai nghiệm của phương trình: thì nghiệm nhỏ là:
BÀI TẬP
Giải các phương trình sau:
a)	2(7x + 10) + 5 = 3(2x – 3) – 9x	b)	
c)	d)	
e)	(x + 2)(x2 – 3x + 5) = (x + 2)x2
Tìm giá trị của m, biết rằng một trong hai phương trình sau đây nhận x = – 1 làm nghiệm, phương trình còn lại nhận x = 5 làn nghiệm:
(1 – x)(x2 + 1) = 0 và (2x2 + 7)(8 – mx) = 0
Số sách ở ngăn I bằng số sách ở ngăn thớ II. Nếu lấy bớt 10 quyển ở ngăn II và thêm 20 quyển vào ngăn I thì số sách ở ngăn II bằng số sách ở ngăn I. Hỏi ban đầu mỗi ngăn có bao nhiêu quyển sách ?