Bài tập ôn học sinh giỏi môn Toán Lớp 8

Bài 4: Cho dãy số 49; 4489; 444889; 44448889;  Dãy số được xây dựng bằng cách 
thêm số 48 vào giữa số đứng trước nó. Chứng minh rằng tất cả các số của dãy trên đều 
là số chính phương. 
Ta có 4448889 = 44488..8 + 1 = 444 . 10n + 8 . 111 + 1 
 n chữ số 4 n-1 chữ số 8 n chữ số 4 n chữ số 8 n chữ số 4 
n chữ số 1 
 = 4. 
9
110 −n . 10n + 8. 
9
110 −n + 1 
 = 
9
9810.810.410.4 2 +−+− nnn = 
9
110.410.4 2 ++ nn 
 = ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +
3
110.2 n 
Ta thấy 2.10n +1=20001 có tổng các chữ số chia hết cho 3 nên nó chia hết cho 3 
 n-1 chữ số 0 
⇒ ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +
3
110.2 n ∈ Z hay các số có dạng 4448889 là số chính phương. 
Bài 5: Chứng minh rằng các số sau đây là số chính phương: 
 A = 111 + 444 + 1 
 2n chữ số 1 n chữ số 4 
 B = 111 + 111 + 666 + 8 
 2n chữ số 1 n+1 chữ số 1 n chữ số 6 
 C = 444 + 222 + 888 + 7 
 2n chữ số 4 n+1 chữ số 2 n chữ số 8 
Kết quả: A = ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +
3
210n ; B = ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +
3
810n ; C = ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +
3
710.2 n 
Bài 6: Chứng minh rằng các số sau là số chính phương: 
 a. A = 22499910009 
 n-2 chữ số 9 n chữ số 0 
 b. B = 1115556 
2
2 
2 2 2
 n chữ số 1 n-1 chữ số 5 
a. A = 224.102n + 999.10n+2 + 10n+1 + 9 
 = 224.102n + ( 10n-2 – 1 ) . 10n+2 + 10n+1 + 9 
 = 224.102n + 102n – 10n+2 + 10n+1 + 9 
 = 225.102n – 90.10n + 9 
 = ( 15.10n – 3 ) 2 
 ⇒ A là số chính phương 
b. B = 11115555 + 1 = 111.10n + 5.111 + 1 
 n chữ số 1 n chữ số 5 n chữ số 1 n chữ số 1 
 = 
9
110 −n . 10n + 5. 
9
110 −n + 1 = 
9
9510.510102 +−+− nnn 
 =
9
410.4102 ++ nn = ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +
3
210n là số chính phương ( điều phải chứng minh) 
Bài 13: Cho a = 111 ; b = 10005 
 2008 chữ số 1 2007 chữ số 0 
 Chứng minh 1+ab là số tự nhiên. 
Cách 1: Ta có a = 111 = 
9
1102008 − ; b = 10005 = 1000 + 5 = 102008 + 5 
 2008 chữ số 1 2007 chữ số 0 2008 
chữ số 0 
 ⇒ ab+1 = 
9
)510)(110( 20082008 +− + 1 = 
9
9510.4)10( 200822008 +−+ = 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +
3
2102008 
 1+ab = ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +
3
2102008 = 
3
2102008 + 
Ta thấy 102008 + 2 = 10002 M 3 nên 
3
2102008 + ∈N hay 1+ab là số tự nhiên. 
 2007 chữ số 0 
Cách 2: b = 10005 = 1000 – 1 + 6 = 999 + 6 = 9a +6 
 2007 chữ số 0 2008 chữ số 0 2008 chữ số 9 
2
2
2
⇒ ab+1 = a(9a +6) + 1 = 9a2 + 6a + 1 = (3a+1)2 
⇒ 1+ab = 2)13( +a = 3a + 1 ∈N