Bài tập môn thi học kỳ I môn Hình học Lớp 8

 6 BÀI TOÁN HÌNH HỌC ÔN THI KÌ I – DÀNH CHO LỚP 8
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Kẻ HD AB và HEAC ( DAB
 , E AC). Gọi O là giao điểm của AH và DE. 
1. Chứng minh AH = DE.
2. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của BH và CH. Chứng minh tứ giác DEQP là 
 hình thang vuông.
3. Chứng minh O là trực tâm tam giác ABQ.
Chứng minh SABC = 2 SDEQP .
 BÀI GIẢI.
Chứng minh AH = DE.
Tam giác ABC vuông ở A nên 
HD AB (gt), HE AC (gt), 
	 Tứ giác ADHE có ba góc vuông nên nó là hình chữ nhật. Do đó: AH = DE (đpcm).
2. Chứng minh tứ giác DEQP là hình thang vuông.
 Ta có: OD = OH (tính chất đường chéo hình chữ nhật ADHE)
 PD = PH = (tính chất trung tuyến của tam giác vuông ứng với cạnh huyền)
 Vậy : OP là đường trung trực DH. Do đó: (tính chất đối xứng)
 Mà nên DP DE. Chứng minh tương tự: EQ DE.
 Suy ra: DP // EQ . Vậy tứ giác DEQP là hình thang vuông. (đpcm)
 3. Chứng minh O là trực tâm tam giác ABQ.
 Tam giác AHC có O là trung điểm AH (tính chất đường chéo hình chữ nhật 
 ADHE),Q là trung điểm CH nên OQ là đường trung bình tam giác AHC.
 Do đó: OQ // AC. Mà AC AB nên QO AB.
 Tam giác ABQ có AH , QO là hai đường cao của tam giác cắt nhau ở O. 
 Do đó O là trực tâm của tam giác ABQ.
 4. Chứng minh SABC = 2 SDEQP .
	SDEQP = = = = 
 Suy ra: SABC = 2 SDEQP (đpcm)
Bài 2: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn,trực tâm H. Đường thẳng vuông góc với AB kẻ 
	từ B cắt đường thẳng vuông góc với AC kẻ từ C tại D.
	1. Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành.	
	2. Gọi M là trung điểm BC, O là trung điểm AD. Chứng minh OM BC 
 và 2OM = AH.
 	3. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh ba điểm H, G, O thẳng hàng.
 BÀI GIẢI:
 1.Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành. 
	 H là trực tâm tam giác ABC nên BH AC , CH AB.
	 Mà CD AC , BD AB (gt) suy ra: BH // CD, CH // BD.
	 Do đó BHCD là hình bình hành. 	
	2. Chứng minh 2OM = AH
 Tứ giác BHCD là hình bình hành , M là trung điểm BC 
	 Suy ra M cũng là trung điểm HD, mà O là trung điểm AD nên	
	OM là đường trung bình tam giác AHD.
	Do đó: OM // AH và AH = 2 OM.
	AH BC nên OM BC.
 3. Chứng minh ba điểm H, G, O thẳng hàng.
 Tam giác ABC có AM là đường trung tuyến,
 G là trọng tâm nên GM = AM. 
AM lại là đường trung tuyến của tam giác AHD (vì M là trung điểm HD) nên G là trọng tâm của AHD. HO là đường trung tuyến của AHD ( vì OA = OD) nên HO 
đi qua G. Vậy ba điểm H, G, O thẳng hàng.
Bài 3: Cho tam giác ABC nhọn, M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC và 
 BC.
	1.Các tứ giác BMNC và BMNP là hình gì? Tại sao?
 2.Gọi H là trực tâm tam giác ABC; D, E, F lần lượt là trung điểm của BH,CH,AH.
	 Chứng minh DN = ME.
 3. Gọi O là giao điểm ME và DN. Chứng minh ba điểm P, O, F thẳng hàng.
	Hướng dẫn sơ lược:
 1. Tứ giác BMNC là hình thang, tứ giác BMNP là hình bình 
	hành (dùng đường trung bình tam giác)
2. Dùng đường trung bình để có MN // DE (cùng song song BC)
 MN = DE (cùng bằng ) MDEN là hình bình hành.
 DE//BC, MD//AH, AH BC MN MD MDEN là 
 hình chữ nhật DN = ME
Chứng minh DPNF là HBHđường chéo PF đi qua trung điểm O của 
 DN ba điểm P, O, F thẳng hàng.
Bài 4. Cho hình vuông ABCD, M là là trung điểm cạnh AB , P là giao điểm của hai tia CM
 và DA. 
	1.Chứng minh tứ giác APBC là hình bình hành và tứ giác BCDP là 
 hình thang vuông.
Chứng minh 2SBCDP = 3 SAPBC .
Gọi N là trung điểm BC,Q là giao điểm của DN và CM.Chứng minh AQ=AB.
	 Hướng dẫn sơ lược
 1. Chứng minh AMP = BMC (g.c.g) AP = BC, có AP// BC từ đó suy ra 
APBC là hình bình hành.
Dễ dàng chứng minh BCDP là hình thang vuông.
2. SBCDP = SABP + SABC + SADC ; SAPBC = SABP + SABC 
 Chú ý: ABP = BAC = DCA nên SABP = SABC = SADC 
 Từ đó: SBCDP = 3SABP , SAPBC = 2 SABP 2SBCDP = 3 SAPBC 
 Lưu ý: Nếu học kịp diện tích các hình có thể sử dụng công thức tính nhanh hơn.
	3. Chứng minh DN CM ,sử dụng tính chất đường trung tuyến 
 của tam giác vuông ứng với cạnh huyền suy ra AQ = AD.
	 AD = AB từ đó suy ra đpcm
Bài 5: Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH.
Chứng minh AH. BC = AB. AC .
Gọi M là điểm nằm giữa B và C . Kẻ MN AB , 
MP AC ( N AB, P AC) .
	 Tứ giác ANMP là hình gì ? Tại sao?
	3. Tính số đo góc NHP ?
	4. Tìm vị trí điểm M trên BC để NP có độ dài ngắn nhất ?
	Hướng dẫn.
Xử dụng công thức tính diện tích tam giác và công thức tính 
diện tích tam giác vuông rồi suy ra kết quả.
	2. Xử dụng dấu hiệu nhận biết tứ giác có ba góc vuông để =>
	 Tứ giác ANMP là hình chữ nhật.
3Đặt thêm giao điểm O của AM và NP, sử dụng tính chất trong tam giác vuông MHA để có HO = AM , AM = NP từ đó được
	 HO = NP tam giác NHP vuông 
4. NP = AM, NP ngắn nhất AM ngắn nhất . Lập luận AM khi M trùng H
	 BÀI TẬP TỰ KIỂM TRA NĂNG LỰC
Bài 6 . Cho tam giác ABC , M là trung điểm AC, N là trung điểm AB. Trên đường thẳng
	BM lấy điểm P sao cho M là trung điểm BP. Trên đường thẳng CN lấy điểm Q sao
	cho N là trung điểm QC.
	1. Chứng minh tứ giác ABCP, ACBQ là hình bình hành.
	2. Chứng minh ba điểm Q, A, P thẳng hàng.
	3. Tìm điều kiện cho tam giác ABC để tứ giác APCB là hình thoi.
	4. Tìm điều kiện cho tam giác ABC để tứ giác BCPQ là hình thang cân.
 Lưu ý: Trên đây là 6 bài toán ôn thi kì I nhằm giúp các em ôn thi kì I đạt kết quả. Lời giải 
	bài 1; 2 hay các bài toán có hướng dẫn chỉ mang tính chất tham khảo, các em có thể 
 tìm cách giải hay và tự hoàn chỉnh các bài có hướng dẫn.
 Chúc các em thi kì I đạt kết quả cao- Chào thân ái.
Bài 1 /Cho tam giác ABC vuông ở A , BC = 10 cm . Gọi M là trung điểm của BC , D là điểm đối xứng với A qua M 
Tính AM
Tứ giác ABDC là hình gì? Vì sao?
Tam giác ABC có điều kiện gì thì tứ giác ABDC là hình vuông 
Bài 2 /Cho tam giác ABC . Qua A vẽ đường thẳng song song với BC, qua B vẽ đường thẳng song song với AC chúng cắt nhau tại D.
Tứ giác ADBC là hình gì ? Vì sao ? 
Gọi E là trung điểm của cạnh AC, N là điểm đối xứng với điểm B qua E. Chứng minh M và N đối xứng nhau qua A. 
Bài 3 /Cho hình thang cân ABCD (AB // CD). Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA.
	Đoạn thẳng MN, NP lần lượt là các đường trung bình của tam giác nào ? vì sao ?
Chứng minh MP ^ NQ. 
Bài 4 /Cho ABC cân tại A ,đường trung tuyến AM .Gọi I là trung điểm của AC ,K là điểm đối xứng với M qua điểm I .
Chứng minh tứ giác AMCK là hình chữ nhật .
Chứng minh tứ giác AKMB là hình bình hành .
Tìm điều kiện của ABC để tứ giác AMCK là hình vuông .
Bài 5 /Cho ABC , các đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G . Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của BG và CG .
a) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành .
b) Tam giác ABC có điều kiện gì thì tứ giác MNPQ là hình chữ nhật .
c) Nếu các đường trung tuyến BM và C N vuông góc với nhau thì tứ giác MNPQ là hình gì ? Vì sao? 
Bài 6 /Cho ABC , điểm D nằm giữa B và C .Qua D vẽ đường thẳng song song với AB cắt AC ở E . Qua D vẽ đường thẳng song song với AC cắt AB ở F .
Tứ giác AEDF là hình gì ? 
Điểm D ở vị trí nào trên cạnh BC thì tứ giác AEDF là hình thoi .
c)Tam giác ABC có điều kiện gì thì tứ giác AEDF là hình chữ nhật 
Bài7/ Cho tứ giác ABCD. Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của AB,BC,CD,DA.
a) Tứ giác MNPQ là hình gì? Vì sao?
b) Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để tứ giác MNPQ là hình vuông?
c) Với điều kiện câu b) hãy tính tỉ số diện tích của tứ giác ABCD và MNPQ
Bài 8/ Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi E,F và D lần lượt là trung điểm của AB, BC, AC. 
C/ M: a/Tứ giác BCDE là hình thang cân.	b/Tứ giác BEDF là hình bình hành
c/Tứ giác ADFE là hình thoi	d/
Bài 9 /Cho ABC cân tại A . Gọi M là điểm bất kỳ thuộc cạnh đáy BC . Từ M kẻ ME // AB ( E AC ) và MD // AC ( D AB )
a)Chứng minh ADME là Hình bình hành b)Chứng minh MEC cân và MD + ME = AC
c)DE cắt AM tại N. Từ M vẻ MF // DE ( F AC ) ; NF cắt ME tại G . Chứng minh G là trọng tâm của AMF
d)Xác định vị trí của M trên cạnh BC để ADME là hình thoi
Bài 10/ Cho hình bình hành ABCD, Evà F lần lượt là trung điểm của AB, CD. Gọi M, N lần lượt là giao điểm của AF, CE với BD.
a)Chứng minh : Tứ giác AECF là hình bình hành.	b)Chứng minh : DM=MN=NB.
c)C/M : MENF là hình bình hành.	 d)AN cắt BC ở I, CM cắt AD ở J. C/M IJ, MN, EF đồng quy.
Bài 11 /Cho hình chữ nhật ABCD, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Lấy E là điểm bất kì thuộc đoạn thẳng OA. Đường thẳng BE cắt AD tại M. Qua D vẽ một đường thẳng song song với BM, đường thẳng này cắt BC tại F và cắt AC tại N.
a. Chứng minh tứ giác BMDF là hình bình hành.	 
b. Chứng minh OBE = ODN.	 
c. Qua E vẽ một đường thẳng song song với BD, đường thẳng này cắt AD tại H, cắt CD kéo dài tại I. Gọi O’ là trung điểm của đoạn thẳng IH. Cm: O’O // DF	
d. Gọi K là điểm đối xứng với D qua O’. Cm: K, M, B thẳng hàng.