20 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 8

CHUYÊN ĐỀ 1 - PHẤN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
 A. MỤC TIÊU:
* Hệ thống lại các dạng toán và các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
* Giải một số bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử
* Nâng cao trình độ và kỹ năng về phân tích đa thức thành nhân tử
B. CÁC PHƯƠNG PHÁP VÀ BÀI TẬP
I. TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ:
Định lí bổ sung:
+ Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ thì có dạng p/q trong đó p là ước của hệ số tự do, q là ước dương của hệ số cao nhất 
+ Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) có một nhân tử là x – 1
+ Nếu f(x) có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ thì f(x) có một nhân tử là x + 1
+ Nếu a là nghiệm nguyên của f(x) và f(1); f(- 1) khác 0 thì và đều là số nguyên. Để nhanh chóng loại trừ nghiệm là ước của hệ số tự do
1. Ví dụ 1: 3x2 – 8x + 4
Cách 1: Tách hạng tử thứ 2
3x2 – 8x + 4 = 3x2 – 6x – 2x + 4 = 3x(x – 2) – 2(x – 2) = (x – 2)(3x – 2)
Cách 2: Tách hạng tử thứ nhất:
3x2 – 8x + 4 = (4x2 – 8x + 4) - x2 = (2x – 2)2 – x2 = (2x – 2 + x)(2x – 2 – x) 
= (x – 2)(3x – 2)
Ví dụ 2: x3 – x2 - 4
Ta nhân thấy nghiệm của f(x) nếu có thì x = , chỉ có f(2) = 0 nên x = 2 là nghiệm của f(x) nên f(x) có một nhân tử là x – 2. Do đó ta tách f(x) thành các nhóm có xuất hiện một nhân tử là x – 2
Cách 1: 
x3 – x2 – 4 = = 
Cách 2: 
 = 
Ví dụ 3: f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – 5
Nhận xét: không là nghiệm của f(x), như vậy f(x) không có nghiệm nguyên. Nên f(x) nếu có nghiệm thì là nghiệm hữu tỉ
Ta nhận thấy x = là nghiệm của f(x) do đó f(x) có một nhân tử là 3x – 1. Nên
f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – 5 = 
 = 
Vì với mọi x nên không phân tích được thành 
nhân tử nữa
Ví dụ 4: x3 + 5x2 + 8x + 4 
Nhận xét: Tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ nên đa thức có một nhân tử là x + 1
x3 + 5x2 + 8x + 4 = (x3 + x2 ) + (4x2 + 4x) + (4x + 4) = x2(x + 1) + 4x(x + 1) + 4(x + 1)
= (x + 1)(x2 + 4x + 4) = (x + 1)(x + 2)2
Ví dụ 5: f(x) = x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + 2
Tổng các hệ số bằng 0 thì nên đa thức có một nhân tử là x – 1, chia f(x) cho (x – 1) ta có:
x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + 2 = (x – 1)(x4 - x3 + 2 x2 - 2 x - 2)
Vì x4 - x3 + 2 x2 - 2 x - 2 không có nghiệm nguyên cũng không có nghiệm hữu tỉ nên không phân tích được nữa
Ví dụ 6: x4 + 1997x2 + 1996x + 1997 = (x4 + x2 + 1) + (1996x2 + 1996x + 1996)
= (x2 + x + 1)(x2 - x + 1) + 1996(x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)(x2 - x + 1 + 1996) = (x2 + x + 1)(x2 - x + 1997)
Ví dụ 7: x2 - x - 2001.2002 = x2 - x - 2001.(2001 + 1)
= x2 - x – 20012 - 2001 = (x2 – 20012) – (x + 2001) = (x + 2001)(x – 2002)
II. THÊM , BỚT CÙNG MỘT HẠNG TỬ:
1. Thêm, bớt cùng một số hạng tử để xuất hiện hiệu hai bình phương:
Ví dụ 1: 4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 - 36x2 = (2x2 + 9)2 – 36x2 
= (2x2 + 9)2 – (6x)2 = (2x2 + 9 + 6x)(2x2 + 9 – 6x) 
= (2x2 + 6x + 9 )(2x2 – 6x + 9) 
Ví dụ 2: x8 + 98x4 + 1 = (x8 + 2x4 + 1 ) + 96x4 
= (x4 + 1)2 + 16x2(x4 + 1) + 64x4 - 16x2(x4 + 1) + 32x4
= (x4 + 1 + 8x2)2 – 16x2(x4 + 1 – 2x2) = (x4 + 8x2 + 1)2 - 16x2(x2 – 1)2
= (x4 + 8x2 + 1)2 - (4x3 – 4x )2 
= (x4 + 4x3 + 8x2 – 4x + 1)(x4 - 4x3 + 8x2 + 4x + 1)
2. Thêm, bớt cùng một số hạng tử để xuất hiện nhân tử chung
Ví dụ 1: x7 + x2 + 1 = (x7 – x) + (x2 + x + 1 ) = x(x6 – 1) + (x2 + x + 1 ) 
= x(x3 - 1)(x3 + 1) + (x2 + x + 1 ) = x(x – 1)(x2 + x + 1 ) (x3 + 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)[x(x – 1)(x3 + 1) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x2 - x + 1)
Ví dụ 2: x7 + x5 + 1 = (x7 – x ) + (x5 – x2 ) + (x2 + x + 1) 
= x(x3 – 1)(x3 + 1) + x2(x3 – 1) + (x2 + x + 1) 
= (x2 + x + 1)(x – 1)(x4 + x) + x2 (x – 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) 
= (x2 + x + 1)[(x5 – x4 + x2 – x) + (x3 – x2 ) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x3 – x + 1) 
Ghi nhớ: 
Các đa thức có dạng x3m + 1 + x3n + 2 + 1 như: x7 + x2 + 1 ; x7 + x5 + 1 ; x8 + x4 + 1 ;
x5 + x + 1 ; x8 + x + 1 ;  đều có nhân tử chung là x2 + x + 1
III. ĐẶT BIẾN PHỤ:
Ví dụ 1: x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = [x(x + 10)][(x + 4)(x + 6)] + 128
 = (x2 + 10x) + (x2 + 10x + 24) + 128
Đặt x2 + 10x + 12 = y, đa thức có dạng
 (y – 12)(y + 12) + 128 = y2 – 144 + 128 = y2 – 16 = (y + 4)(y – 4)
= ( x2 + 10x + 8 )(x2 + 10x + 16 ) = (x + 2)(x + 8)( x2 + 10x + 8 )
Ví dụ 2: A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1
Giả sử x 0 ta viết 
x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 = x2 ( x2 + 6x + 7 – ) = x2 [(x2 + ) + 6(x - ) + 7 ]
Đặt x - = y thì x2 + = y2 + 2, do đó
A = x2(y2 + 2 + 6y + 7) = x2(y + 3)2 = (xy + 3x)2 = [x(x - )2 + 3x]2 = (x2 + 3x – 1)2 
Chú ý: Ví dụ trên có thể giải bằng cách áp dụng hằng đẳng thức như sau:
A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 = x4 + (6x3 – 2x2 ) + (9x2 – 6x + 1 )
 = x4 + 2x2(3x – 1) + (3x – 1)2 = (x2 + 3x – 1)2 
Ví dụ 3: A = 
= 
Đặt = a, xy + yz + zx = b ta có 
A = a(a + 2b) + b2 = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 = ( + xy + yz + zx)2
Ví dụ 4: B = 
Đặt x4 + y4 + z4 = a, x2 + y2 + z2 = b, x + y + z = c ta có:
B = 2a – b2 – 2bc2 + c4 = 2a – 2b2 + b2 - 2bc2 + c4 = 2(a – b2) + (b –c2)2
Ta lại có: a – b2 = - 2() và b –c2 = - 2(xy + yz + zx) Do đó;
B = - 4() + 4 (xy + yz + zx)2 
 = 
Ví dụ 5: 
Đặt a + b = m, a – b = n thì 4ab = m2 – n2
 a3 + b3 = (a + b)[(a – b)2 + ab] = m(n2 + ). Ta có:
C = (m + c)3 – 4. = 3( - c3 +mc2 – mn2 + cn2)
= 3[c2(m - c) - n2(m - c)] = 3(m - c)(c - n)(c + n) = 3(a + b - c)(c + a - b)(c - a + b)
III. PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH:
Ví dụ 1: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3
Nhận xét: các số 1, 3 không là nghiệm của đa thức, đa thức không có nghiệm nguyên củng không có nghiệm hữu tỉ
Như vậy nếu đa thức phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng 
(x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd
đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho ta có: 
Xét bd = 3 với b, d Z, b với b = 3 thì d = 1 hệ điều kiện trên trở thành
Vậy: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3 = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1) 
Ví dụ 2: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8
Nhận xét: đa thức có 1 nghiệm là x = 2 nên có thừa số là x - 2 do đó ta có:
 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = (x - 2)(2x3 + ax2 + bx + c) 
= 2x4 + (a - 4)x3 + (b - 2a)x2 + (c - 2b)x - 2c 
Suy ra: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = (x - 2)(2x3 + x2 - 5x - 4) 
Ta lại có 2x3 + x2 - 5x - 4 là đa thức có tổng hệ số của các hạng tử bậc lẻ và bậc chẵn bằng nahu nên có 1 nhân tử là x + 1 nên 2x3 + x2 - 5x - 4 = (x + 1)(2x2 - x - 4)
Vậy: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = (x - 2)(x + 1)(2x2 - x - 4)
Ví dụ 3: 
12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - 3 = (a x + by + 3)(cx + dy - 1)
= acx2 + (3c - a)x + bdy2 + (3d - b)y + (bc + ad)xy – 3 
 12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - 3 = (4 x - 6y + 3)(3x + 2y - 1)
BÀI TẬP: 
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
1) x3 - 7x + 6
2) x3 - 9x2 + 6x + 16
3) x3 - 6x2 - x + 30
4) 2x3 - x2 + 5x + 3
5) 27x3 - 27x2 + 18x - 4
6) x2 + 2xy + y2 - x - y - 12
7) (x + 2)(x +3)(x + 4)(x + 5) - 24
8) 4x4 - 32x2 + 1
9) 3(x4 + x2 + 1) - (x2 + x + 1)2 
10) 64x4 + y4
11) a6 + a4 + a2b2 + b4 - b6
12) x3 + 3xy + y3 - 1
13) 4x4 + 4x3 + 5x2 + 2x + 1
14) x8 + x + 1
15) x8 + 3x4 + 4 
16) 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 +10
17) x4 - 8x + 63
CHUYÊN ĐỀ 2 - SƠ LƯỢC VỀ CHỈNH HỢP, 
CHUYÊN ĐỀ 2: HOÁN VỊ, TỔ HỢP
A. MỤC TIÊU:
* Bước đầu HS hiểu về chỉnh hợp, hoán vị và tổ hợp
* Vận dụng kiến thức vào một ssó bài toán cụ thể và thực tế
* Tạo hứng thú và nâng cao kỹ năng giải toán cho HS
B. KIẾN THỨC:
I. Chỉnh hợp:
1. định nghĩa: Cho một tập hợp X gồm n phần tử. Mỗi cách sắp xếp k phần tử của tập hợp X ( 1 k n) theo một thứ tự nhất định gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử ấy
Số tất cả các chỉnh hợp chập k của n phần tử được kí hiệu 
2. Tính số chỉnh chập k của n phần tử 
 = n(n - 1)(n - 2)[n - (k - 1)]
II. Hoán vị:
1. Định nghĩa: Cho một tập hợp X gồm n phần tử. Mỗi cách sắp xếp n phần tử của tập hợp X theo một thứ tự nhất định gọi là một hoán vị của n phần tử ấy
Số tất cả các hoán vị của n phần tử được kí hiệu Pn
Pn = = n(n - 1)(n - 2) 2 .1 = n! 
2. Tính số hoán vị của n phần tử 
( n! : n giai thừa)
III. Tổ hợp:
1. Định nghĩa: Cho một tập hợp X gồm n phần tử. Mỗi tập con của X gồm k phần tử trong n phần tử của tập hợp X ( 0 k n) gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử ấy
Số tất cả các tổ hợp chập k của n phần tử được kí hiệu 
2. Tính số tổ hợp chập k của n phần tử 
 = : k! = 
C. Ví dụ:
1. Ví dụ 1:
Cho 5 chữ số: 1, 2, 3, 4, 5
a) có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số, các chữ số khác nhau, lập bởi ba trong các chữ số trên
b) Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, các chữ số khác nhau, lập bởi cả 5 chữ số trên
c)Có bao nhiêu cách chọn ra ba chữ số trong 5 chữ số trên
Giải:
a) số tự nhiên có ba chữ số, các chữ số khác nhau, lập bởi ba trong các chữ số trên là chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử: = 5.(5 - 1).(5 - 2) = 5 . 4 . 3 = 60 số
b) số tự nhiên có 5 chữ số, các chữ số khác nhau, lập bởi cả 5 chữ số trên là hoán vị cua 5 phần tử (chỉnh hợp chập 5 của 5 phần tử):
 = 5.(5 - 1).(5 - 2).(5 - 3).(5 - 4) = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 số
c) cách chọn ra ba chữ số trong 5 chữ số trên là tổ hợp chập 3 của 5 phần tử:
 = nhóm
2. Ví dụ 2:
Cho 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Dùng 5 chữ số này:
a) Lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số trong đó không có chữ số nào lặp lại? Tính tổng các số lập được
b) lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác nhau?
c) Lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, trong đó hai chữ số kề nhau phải khác nhau
d) Lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số, các chữ số khác nhau, trong đó có hai chữ số lẻ, hai chữ số chẵn
Giải
a) số tự nhiên có 4 chữ số, các chữ số khác nhau, lập bởi 4 trong các chữ số trên là chỉnh hợp chập 4 của 5 phần tử: = 5.(5 - 1).(5 - 2).(5 - 3) = 5 . 4 . 3 . 2 = 120 số
Trong mỗi hang (Nghìn, trăm, chục, đơn vị), mỗi chữ số có mặt: 120 : 5 = 24 lần
Tổng các chữ số ở mỗi hang: (1 + 2 + 3 + 4 + 5). 24 = 15 . 24 = 360
Tổng các số được lập: 360 + 3600 + 36000 + 360000 = 399960
b) chữ số tận cùng có 2 cách chọn (là 2 hoặc 4)
bốn chữ số trước là hoán vị của của 4 chữ số còn lại và có P4 = 4! = 4 . 3 . 2 = 24 cách chọn
Tất cả có 24 . 2 = 48 cách chọn
c) Các số phải lập có dạng , trong đó : a có 5 cách chọn, b có 4 cách chọn (khác a), c có 4 cách chọn (khác b), d có 4 cách chọn (khác c), e có 4 cách chọn (khác d)
Tất cả có: 5 . 4 . 4 . 4 . 4 = 1280 số
d) Chọn 2 trong 2 chữ số chẵn, có 1 cách chọn
chọn 2 trong 3 chữ số lẻ, có 3 cách chọn. Các chữ số có thể hoán vị, do đó có: 
1 . 3 . 4! =1 . 3 . 4 . 3 . 2 = 72 số
Bài 3: Cho . Trên Ax lấy 6 điểm khác A, trên Ay lấy 5 điểm khác A. trong 12 điểm nói trên (kể cả điểm A), hai điểm nào củng được nối với nhau bởi một đoạn thẳng.
Có bao nhiêu tam giác mà các đỉnh là 3 trong 12 điểm ấy
Giải
Cách 1: Tam giác phải đếm gồm ba loại:
+ Loại 1: các tam giác có một đỉnh là A, đỉnh thứ 2 thuộc Ax (có 6 cách chọn), đỉnh thứ 3 thuộc Ay (có 5 cách chọn), gồm có: 6 . 5 = 30 tam giác
+ Loại 2: Các tam giác có 1 đỉnh là 1 trong 5 đ ...  thöùc môùi coù chöùa A
Töø x + y = 1 x2 + 2xy + y2 = 1(1). Maët khaùc (x – y)2 0 x2 – 2xy + y2 0 (2)
Coäng (1) vôùi (2) veá theo veá, ta coù:
2(x2 + y2) 1 x2 + y2 min A = x = y = 
2)Ví duï 2: Cho x + y + z = 3
a) Tìm GTNN cuûa A = x2 + y2 + z2
b) Tìm GTLN cuûa B = xy + yz + xz
Töø Cho x + y + z = 3 Cho (x + y + z)2 = 9 x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + xz) = 9 (1)
Ta coù x + y + z- xy – yz – zx = .2 .( x + y + z- xy – yz – zx)
= 0 x + y + z xy+ yz + zx (2)
Ñaúng thöùc xaåy ra khi x = y = z 
a) Töø (1) vaø (2) suy ra 
9 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + xz) x2 + y2 + z2 + 2(x2 + y2 + z2) = 3(x2 + y2 + z2)
 x2 + y2 + z2 3 min A = 3 x = y = z = 1
b) Töø (1) vaø (2) suy ra 
 9 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + xz) xy+ yz + zx + 2(xy + yz + xz) = 3(xy+ yz + zx)
 xy+ yz + zx 3 max B = 3 x = y = z = 1
3) Ví duï 3: 
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña S = xyz.(x+y).(y+z).(z+x) víi x,y,z > 0 vµ x + y + z = 1
V× x,y,z > 0 ,¸p dông B§T C«si ta cã: x+ y + z 
¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«si cho x+y ; y+z ; x+z ta cã 
 DÊu b»ng x¶y ra khi x = y = z = S 
VËy S cã gi¸ trÞ lín nhÊt lµ khi x = y = z = 
4) Ví duï 4: Cho xy + yz + zx = 1. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña 
¸p dông B§T Bunhiacèpski cho 6 sè (x,y,z) ;(x,y,z)
Ta cã (1)
¸p dông B§T Bunhiacèpski cho () vµ (1,1,1)
 Ta cã 
 Tõ (1) vµ (2) 
VËy cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ khi x= y = z = 
D. Moät soá chuù yù:
1) Khi tìm GTNN, GTLN ta coù theå ñoåi bieán
Ví duï : Khi tìm GTNN cuûa A =(x – 1)2 + (x – 3)2 , ta ñaët x – 2 = y thì 
A = (y + 1)2 + (y – 1)2 = 2y2 + 2 2
2) Khi tìm cöïc trò cuûa moät bieåu thöùc, ta coù theå thay ñk cuûa bieåu thöùc naøy ñaït cöïc trò bôûi ñk töông ñöông laø bieåu thöùc khaùc ñaït cöïc trò: 
+) -A lôùn nhaát A nhoû nhaát ; +) lôùn nhaát B nhoû nhaát (vôùi B > 0)
+) C lôùn nhaát C2 lôùn nhaát
Ví duï: Tìm cöïc trò cuûa A = 
a) Ta coù A > 0 neân A nhoû nhaát khi lôùn nhaát, ta coù
 min = 1 x = 0 max A = 1 x = 0
b) Ta coù (x2 – 1)2 0 x4 - 2x2 + 1 0 x4 + 1 2x2. (Daáu baèng xaåy ra khi x2 = 1)
Vì x4 + 1 > 0 1 max = 2 x2 = 1 
 min A = x = 1
3) Nhieàu khi ta tìm cöïc trò cuûa bieåu thöùc trong caùc khoaûng cuûa bieán, sau ñoù so saùmh caùc cöïc trò ñoù ñeå ñeå tìm GTNN, GTLN trong toaøn boä taäp xaùc ñònh cuûa bieán
Ví duï: Tìm GTLN cuûa B = 
a) xeùt x + y 4
- Neáu x = 0 thì A = 0 - Neáu thì A 3
- Neáu y = 4 thì x = 0 vaø A = 4
b) xeùt x + y 6 thì A 0
So saùnh caùc giaù trò treân cuûa A, ta thaáy max A = 4 x = 0; y = 4
4) Söû duïng caùc haèng baát ñaúng thöùc
Ví duï: Tìm GTLN cuûa A = bieát x2 + y2 = 52
Aùp duïng Bñt Bunhiacoápxki: (a x + by)2 (a2 + b2)(x2 + y2) cho caùc soá 2, x , 3, y ta coù:
(2x + 3y)2 (22 + 32)(x2 + y2) = (4 + 9).52 = 262 26
Max A = 26 y = x2 + y2 = x2 + = 52 13x2 = 52.4 x = 4
Vaäy: Ma x A = 26 x = 4; y = 6 hoaëc x = - 4; y = - 6
5) Hai soá coù toång khoâng ñoåi thì tích cuûa chuùng lôùn nhaát khi vaø chæ khi chuùng baèng nhau
Hai soá coù tích khoâng ñoåi thì toång cuûa chuùng lôùn nhaát khi vaø chæ khi chuùng baèng nhau
a)Ví duï 1: Tìm GTLN cuûa A = (x2 – 3x + 1)(21 + 3x – x2)
Vì (x2 – 3x + 1) + (21 + 3x – x2) = 22 khoâng ñoåi neân tích (x2 – 3x + 1)(21 + 3x – x2) lôùn nhaát khi vaø chæ khi x2 – 3x + 1 = 21 + 3x – x2 x2 – 3x – 10 = 0 x = 5 hoaëc x = - 2
Khi ñoù A = 11. 11 = 121 Max A = 121 x = 5 hoaëc x = - 2
b) Ví duï 2: Tìm GTNN cuûa B = 
Ta coù: B = 
Vì caùc soá x vaø coù tích x. = 36 khoâng ñoåi neân nhoû nhaát x = x = 6
 A = nhoû nhaát laø min A = 25 x = 6
6)Trong khi tìm cöïc trò chæ caàn chæ ra raèng toàn taïi moät giaù trò cuûa bieán ñeå xaåy ra ñaúng thöùc chöù khoâng caàn chæ ra moïi giaù trò ñeå xaåy ra ñaúng thöùc
Ví duï: Tìm GTNN cuûa A = 
Ta thaáy 11m taän cuøng baèng 1, 5n taän cuøng baèng 5
Neáu 11m > 5n thì A taän cuøng baèng 6, neáu 11m < 5n thì A taän cuøng baèng 4
khi m = 2; n = 3 thÌ A = = 4 min A = 4, chaúng haïn khi m = 2, n = 3
CHUYEÂN ÑEÀ 20 – PHÖÔNG TRÌNH NGHIEÄM NGUYEÂN
¯ - PHÖÔNG PHAÙP 1: Phöông phaùp ñöa veà daïng toång
 	µ Phöông phaùp: Phöông phaùp naøy thöôøng söû duïng vôùi caùc phöông trình coù caùc bieåu thöùc chöùa aån vieát ñöôïc döôùi daïng toång caùc bình phöông.
	- Bieán ñoåi phöông trình veà daïng moät veá laø moät toång cuûa caùc bình phöông caùc bieåu thöùc chöùa aån; veá coøn laïi laø toång bình phöông cuûa caùc soá nguyeân (soá soá haïng cuûa hai veá baèng nhau).	
Caùc ví duï minh hoaï:
- Ví duï 1: Tìm thoaû maõn: (1)
 (II)
(1) 
	Töø (I) ta coù: Töông töï töø (II) ta coù:
 Vaäy 
 Ví duï 2: Tìm thoaû maõn: (2)
 (2) 
 Vaäy 
Ví duï 3: Tìm thoaû maõn: (1)
 (1) (Vì )
Ví duï 4: Tìm thoaû maõn: (2)
	Vaäy: 
¯ - PHÖÔNG PHAÙP 2: Phöông phaùp cöïc haïn
 	µ Phöông phaùp: Phöông phaùp naøy thöôøng söû duïng vôùi caùc phöông trình ñoái xöùng 
	- Vì phöông trình ñoái xöùng neân coù vai troø bình ñaúng nhö nhau. Do ñoù; ta giaû thieát ; tìm ñieàu kieän cuûa caùc nghieäm; loaïi tröø daàn caùc aån ñeå coù phöông trình ñôn giaûn. Giaûi phöông trình; duøng pheùp hoaùn vò ñeå suy ra nghieäm.
	X Ta thöôøng giaû thieát 
{Caùc ví duï minh hoaï:
 Ví duï 1: Tìm thoaû maõn: (1)
w Nhaän xeùt – Tìm höôùng giaûi:
	Ta thaáy ñaây laø phöông trình ñoái xöùng.
Giaû söû . Khi ñoù:
	(1) (Vì )
* Neáu: (voâ lí)
* Neáu: 
* Neáu: (voâ lí)
	Vaäy: laø hoaùn vò cuûa 
Ví duï 2: Tìm thoaû maõn: (2)
w Nhaän xeùt – Tìm höôùng giaûi:
	Ñaây laø phöông trình ñoái xöùng.
	Giaû söû . Khi ñoù:
	(2) 
 Vôùi: 
t.Neáu: (voâ lí)
t.Neáu: 
Vaäy: laø hoaùn vò cuûa 
¯ - PHÖÔNG PHAÙP 3: Phöông phaùp söû duïng tính chaát chia heát
	{Caùc ví duï minh hoaï:
Ví duï 1: Tìm ñeå: nhaän giaù trò nguyeân
	Ta coù: . Khi ñoù:
	Ñeå A nhận giaù trò nguyeân thì nhaän giaù trò nguyeân.
	 Vì : 
	Vaäy ñeå A nhaän giaù trò nguyeân thì: hoaëc 
Ví duï 2: Tìm thoaû maõn: 
 (2) 
 Vôùi: khoâng phaûi laø ngieäm cuûa phöông trình. Neân:
	. 
	Phöông trình coù nghieäm nguyeân 
 Ví duï 3: Tìm thoaû maõn: (3)
	Ta coù:
	(3). laø soá leû laø hai soá leû lieân tieáp laø caùc luyõ thöøa cuûa 3, neân:
 § Vôùi: 
 § Vôùi: Töø ( voâ lí)	
	Phöông trình coù nghieäm nguyeân: 
¯ - PHÖÔNG PHAÙP 4: Phöông phaùp söû duïng baát ñaúng thöùc
 	µ Phöông phaùp: Phöông phaùp naøy thöôøng söû duïng vôùi caùc phöông trình maø hai veá laø nhöõng ña thöùc coù tính bieán thieân khaùc nhau.
	- AÙp duïng caùc baát ñaúng thöùc thöôøng gaëp:
	*Baát ñaúng thöùc Coâ – si: 
	Cho n soá khoâng aâm: . Khi ñoù: 
	. Daáu “=” xaûy ra 
	* Baát ñaúng thöùc Bunhiacoâpxki: 
	Cho 2n soá thöïc: vaø. Khi ñoù:
	.
	Daáu “=” xaûy ra .
	*Baát ñaúng thöùcgiaù trò tuyeát ñoái:
	{Caùc ví duï minh hoaï:
Ví duï 1: Tìm thoaû: (1) 
	AÙp duïng BÑT Coâ – si. Ta coù: . 
	Vaäy nghieäm cuûa phöông trình laø: 
 Ví duï 2: Tìm nghieäm nguyeân cuûa phöông trình: (2)
 (Toaùn Tuoåi thô 2)
	Theo Bunhiacoâpxki,ta coù:
	Daáu “=” xaûy ra 
	Vaäy nghieäm cuûa phöông trình laø: 
 Ví duï 3: Tìm taát caû caùc soá nguyeân thoaû maõn: 
 (3)
w Nhaän xeùt – Tìm höôùng giaûi:
	Ta nhaän thaáy: 2104 = 3 + 10 + 101 + 990 + 1000 =101 + 2003 vaø 
	Ta coù:(3). 
	Maø 
	Do ñoù: . 
 Vôùi (voâ lí). Vaäy nghieäm cuûa phöông trình laø: 
1) T×m c¸c sè nguyªn x,y,z tho¶ m·n: 
 V× x,y,z lµ c¸c sè nguyªn nªn
 (*) Mµ 
 C¸c sè x,y,z ph¶i t×m lµ 
PHÖÔNG PHAÙP 5: Phöông phaùp löïa choïn 
 Phöông phaùp: Phöông phaùp naøy ñöôïc söû duïng vôùi caùc phöông trình maø ta coù theå nhaåm (phaùt hieän deå daøng) ñöôïc moät vaøi giaù trò nghieäm
	- Treân cô sôû caùc giaù trò nghieäm ñaõ bieát. AÙp duïng caùc tính chaát nhö chia heát; soá dö; soá chính phöông; chöõ soá taän cuøng .. ta chöùng toû raèng vôùi caùc giaù trò khaùc phöông trình voâ nghieäm
 Caùc ví duï minh hoaï:
Ví duï 1: Tìm thoaû maõn: 
w Nhaän xeùt – Tìm höôùng giaûi:
	Ta thaáy vôùi thì phöông trình ñöôïc nghieäm ñuùng. Ta caàn chöùng minh phöông trình voâ nghieäm vôùi 
	+ Vôùi thì phöông trình ñöôïc nghieäm ñuùng 
	+ Vôùi . Khi ñoù:
 (*)
	Vì laø hai soá nguyeân lieân tieáp neân khoâng coù giaù trò naøo cuûa y thoaû (*)
	Vaäy laø nghieäm cuûa phöông trình.
Ví duï 2: Tìm thoaû: (2) 
 (Taïp chí Toaùn hoïc vaø tuoåi treû )
	Goïi b laø chöõ soá taän cuøng cuûa x ( Vôùi . Khi ñoù: coù chöõ soá taän cuøng laø: 1, 5 hoaëc 9. (*)
	Maët khaùc: laø luyõ thöøa baäc leû cuûa 3 neân coù taän cuøng laø 3 hoaëc 7. (**)
	Töø (*) vaø (**) suy ra phöông trình voâ nghieäm.
Ví duï 3: Tìm thoaû maõn: (3)
	(3) 
	 Do ñoù: 
Phöông trình coù nghieäm nguyeân: 
 PHÖÔNG PHAÙP 6: Phöông phaùp luøi voâ haïn (xuoáng thang)
 Phöông phaùp: Phöông phaùp naøy thöôøng söû duïng vôùi nhöõng phöông trình coù (n – 1) aån maø heä soá coù öôùc chung khaùc 1
	- Döïa vaøo tính chaát chia heát ta bieåu dieãn aån theo aån phuï nhaèm “haï” (giaûm bôùt) haèng soá töï do, ñeå coù ñöôïc phöông trình ñôn giaûn hôn.
	- Söû duïng linh hoaït caùc phöông phaùp ñeå giaûi phöông trình ñoù. 
Caùc ví duï minh hoaï:
Ví duï 1: Giaûi phöông trình: (1) 
w Nhaän xeùt – Tìm höôùng giaûi:
	Ta thaáy maø neân
	Ta coù: (1)
 Khi ñoù: (1). 
	.
	* Tieáp tuïc söï bieåu dieãn treân vaø neáu goïi laø nghieäm cuûa (1) vaø thì vaø . Thöïc hieän thöû choïn ta ñöôïc: 
	Vaäy nghieäm cuûa phöông trình laø: 
c¸c bµi tËp KH¸C
1/Dïng ®Þnh nghÜa 
 1) Cho abc = 1 vµ . . Chøng minh r»ngb2+c2> ab+bc+ac
Gi¶i
Ta cã hiÖu: 
 b2+c2- ab- bc – ac = b2+c2- ab- bc – ac
= ( b2+c2- ab– ac+ 2bc) +3bc =(-b- c)2 +
 =(-b- c)2 +>0 (v× abc=1 vµ a3 > 36 nªn a >0 )
VËy : b2+c2> ab+bc+ac §iÒu ph¶i chøng minh
2) Chøng minh r»ng 
 a) 
 b) víi mäi sè thùc a , b, c ta cã : 
 c) 
 Gi¶i :
 a) XÐt hiÖu :
 H = = 
 H0 ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh
 b) VÕ tr¸i cã thÓ viÕt 
 H = 
 H > 0 ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh
 c) vÕ tr¸i cã thÓ viÕt
 H = 
 H 0 ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh
Ii / Dïng biÕn ®æi t­¬ng ®­¬ng
 1) Cho x > y vµ xy =1 .Chøng minh r»ng : 
 Gi¶i :
Ta cã (v× xy = 1)
Do ®ã B§T cÇn chøng minh t­¬ng ®­¬ng víi
B§T cuèi ®óng nªn ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh
2) Cho xy 1 .Chøng minh r»ng : 
 Gi¶i :
Ta cã 
B§T cuèi nµy ®óng do xy > 1 .VËy ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh
Iii / dïng bÊt ®¼ng thøc phô
 1) Cho a , b, c lµ c¸c sè thùc vµ a + b +c =1
 Chøng minh r»ng 
 Gi¶i :
 ¸p dông B§T BunhiaC«pski cho 3 sè (1,1,1) vµ (a,b,c)
 Ta cã 
 (v× a+b+c =1 ) (®pcm)
2) Cho a,b,c lµ c¸c sè d­¬ng 
 Chøng minh r»ng (1)
 Gi¶i :
 (1) 
 ¸p dông B§T phô Víi x,y > 0
 Ta cã B§T cuèi cïng lu«n ®óng
 VËy (®pcm)
Iv / dïng ph­¬ng ph¸p b¾c cÇu
 1) Cho 0 < a, b,c <1 .Chøng minh r»ng :
 Gi¶i :
 Do a <1 <1 vµ b <1 Nªn 
 Hay (1)
 MÆt kh¸c 0 <a,b <1 ; 
 VËy 
 T­¬ng tù ta cã : 
 (®pcm)
2) So s¸nh 31 vµ 17
Gi¶i :
 Ta thÊy < 
 MÆt kh¸c 
 Vëy 31 < 17 (®pcm)
V/ dïng tÝnh chÊt tØ sè
vÝ dô 4: Cho 4 sè a,b,c,d bÊt kú, chøng minh r»ng: 
Gi¶i: Dïng bÊt ®¼ng thøc Bunhiacopski
 ta cã ac + bd 
 mµ